Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года профильного уровня

Между 23:50 дня отправления и 00:00 дня прибытия пройдёт 10 минут. Между 00:00 дня прибытия и 07:50 дня прибытия пройдёт 7 часов 50 минут. Следовательно, всего поезд будет в пути 7 часов 50 минут + 10 минут = 8 часов.

По рисунку видно, что средняя температура в Сочи была больше 18 градусов Цельсия в 6-ом, 7-ом, 8-ом и 9-ом месяцах, то есть 4 месяца.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла:

В тех точках, в которых производная функции отрицательна, функция убывает.
На данном графике это следующие точки: . Всего их 4.

1. Пусть — собственная скорость катера (км/ч), — скорость течения реки весной (км/ч).

2. Исходя из условия запишем отношение скоростей весной:

(1)

3. Исходя из условия запишем отношение скоростей летом:

.

(2)

4. Выразим у, приравняв правые части уравнений (1) и (2)

Искомая точка максимума

а) Преобразуем обе части уравнения:

Из уравнения находим:

Из уравнения находим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку

Получаем числа:

Ответ:
а)

б)

а) Пусть точка H — середина AC.

Тогда

С другой стороны,

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A₁B₁.

Тогда прямая NP перпендикулярна A₁B₁ и прямая NP перпендикулярна A₁A. Следовательно, прямая NP перпендикулярна ABB₁. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB₁.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямая BM перпендикулярна MP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A₁B₁C₁ , то есть

Поэтому

Следовательно,

Ответ: б)

Пусть ,

тогда неравенство примет вид:

,

,

,

,

откуда:

.

При получим

При получим

а) Обозначим центры окружностей O₁ и O₂ соответственно.

Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD и AB перпендикулярны. Аналогично, получаем, что BC перпендикулярна AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.

Треугольники BKC и AKD подобны,

Пусть , тогда

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,

То есть . Аналогично,

Площадь трапеции ABCD равна 25S .

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O₂H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O₂HO₁ :

Тогда

Следовательно, 25S = 20 , откуда S = 0,8 и .

Долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:

1; 0.6; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0.

Пусть

тогда долг на первое число каждого месяца равен:

Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:

Общая сумма выплат составляет:

По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7.

Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса 3, а если , то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и . Так как то .

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

Из точки проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и . Так как то

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и .

Ответ: .

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17.

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17.

Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.